L’univers est sous-tendu par des concepts mathématiques

Cet interview par un groupe de lycéens aborde de nombreux aspects de la vie et des idées de ce mathématicien hors-pair, des questions philosophiques fondamentales sur la nature du monde et des mathématiques à sa passion pour le ping-pong ou pour les bandes dessinées ainsi que sur les rapports entre un scientifique de son niveau, les élèves et le grand public.

“Je suis sûr qu’il peut êtretrès utile pour un philosophe de s’y connaître en mathématiques.”

Mathématicien de renom, lauréat de la Médaille Fields 2010, Cédric Villani est aussi un passionné de ping-pong. Nous l’avons rencontré dans le cadre des Championnats du monde de tennis de table organisés à Paris du 13 au 20 mai, au Palais omnisport de Paris-Bercy, le 14mai 2013, pour un grand entretien, que nous publions par épisode.

Commençons, si vous le voulez bien,par votre parcours scolaire et universitaire. Vos parents sont tous les deux professeursde Lettres dans le supérieur. Comment devient-on mathématicien quand on estissu d’un milieu littéraire ?

CédricVillani : Vous savez, la vraie césure se fait entre les milieuxintellectuels et ceux qui ne le sont pas, pas entre littéraires et scientifiques ! Un fils de professeurs qui devient enseignant-chercheur, quelle que soit ladiscipline dans laquelle il s’exprime, ce n’est pas une variation si grande. Onest toujours dans les métiers dans lesquels on vit par son cerveau. Dans maclasse préparatoire aux Grandes Ecoles, on était essentiellement des enfants decadres, d’ingénieurs, d’enseignants ou de chercheurs. Il n’y avait qu’un oudeux enfant(s) d’ouvriers. Elle est là la vraie césure ! Par exemple, Henri Poincaré, l’un des plus grands mathématiciens français, était fils demédecin, pas de matheux. Mais on est là dans des professions avec un fortcontenu cérébral. Autre exemple de famille d’intellectuels célèbres, les Weil : André fut un des grands mathématiciens du XXème siècle et Simone, une des grandes philosophes.

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Justement, quels liens unissent, selon vous, les mathématiques et la philosophie ?

Être matheux et être philosophe, cen’est pas la même chose, surtout aux yeux du grand public. Pourtant, il y a desconnexions.

Dans un sens, je pense qu’on peut très bien être un grand mathématicien en se passant complètement de philosophie. Même si on trouve des exemples de gens qui sont à la fois de grands mathématiciens et de grands philosophes – par exemple Henri Poincaré, encore lui, dont les ouvrages de philosophie des sciences sont reconnues comme les plus importants du XXème siècle. Mais, le langage mathématique se suffit à lui-même. Il n’a pas besoin de la philosophie, sauf pour se rendre compréhensible aux non-mathématiciens. Et tous les mathématiciens n’ont pas vocation à vulgariser leur discipline.


Dans l’autre sens, je pense qu’il est beaucoup plus utile pour un philosophe qui veut avoir une réflexion de qualité defaire des mathématiques ou d’avoir de bonnes connaissances en mathématiques. Simone Weil est un bon exemple. Le XVIIème siècle rationaliste avec DescartesPascalSpinoza et Leibniz, puis les Lumières sont despériodes où tout le monde se pique de mathématiques ou essaie de faire desmathématiques. On n’y pense beaucoup moins maintenant. Les philosophes du XXèmesiècle qui mettent beaucoup de mathématiques dans leur œuvre« bluffent » le plus souvent ou bien les utilisent comme une sorted’objet artistique auquel ils ne comprennent pas grand-chose. Mais jesuis sûr qu’il peut être très utile pour un philosophe de s’y connaître enmathématiques.

Faisons donc un peu de philosophie,si vous le permettez. Pensez-vous, comme Galilée, que la nature soit « écritedans un langage mathématique » ou bien que les mathématiques sont unlangage projeté par l’homme sur une nature qui ne le parle pas ?

Mais il s’agit là d’une questionquasiment religieuse, en tout cas métaphysique, qui nous sort de la seulesphère scientifique. Il y est plus question de croyances que de véritésdémontrées. C’est une manière de voir les choses qui entre en harmonie ou enrésonnance avec d’autres versants de la philosophie. Toutefois, je croisque c’est Galilée qui a raison.                                 


Je crois que l’univers est sous-tendupar des concepts mathématiques intrinsèques, existants, comme des sortes d’objets qui flottent. Nosréalisations mathématiques sont des incarnations de ces concepts abstraits etqui s’appuient dessus. Ce langage est certes accessible aux êtres humains, maisil traduit bien des idées et des concepts mathématiquespréexistants. 
 

« L’imaginationet la rigueur sont deux des trois qualités essentielles d’un mathématicien. Latroisième est la ténacité. »

Mathématicien de renom, lauréat de laMédaille Fields 2010, Cédric Villani est aussi un passionné de ping-pong. Nousl’avons rencontré dans le cadre des Championnats du monde de tennis de tableorganisés à Paris du 13 au 20 mai, au Palais omnisport de Paris-Bercy, le 14mai 2013, pour un grand entretien, que nous publions par épisode. Voici ladeuxième partie de notre entretien.
 

Venons-en à la récompense qui vous arendu célèbre. Comment saviez-vous que vousétiez en lice ?

CédricVillani : On le sent ! Le milieu mathématique n’est pastellement grand, On considère même qu’il est de notre devoir de ne pas y penserpar rapport à d’autres. Dans n’importe quel sous-domaine mathématique, on saitqui sont les personnes les plus en vue dans la tranche d’âge correspondante. Jepourrais facilement vous donner maintenant la liste des 10 ou 12 personnesparmi lesquelles on trouvera les 4 médailles Fields de la fournée 2014.Le  milieu est suffisamment petit (les gens parlent beaucoup) pour qu’onsache qui est pressenti. La Médaille Fields se joue à la fois sur un résultatponctuel et sur l’ensemble de la carrière. Avant d’être récompensé, on saitqu’on est « en course », qu’on a été remarqué et que notre travail aimpressionné nos collègues dans les années qui précèdent.
 

Avez-vous pensé à la récompenseultime pendant votre travail et lors de sa publication ?

A la fin, oui. J’en parle d’ailleursdans mon livre Théorème vivant. J’y explique qu’à la fin, on nepeut pas ne pas y penser, tout en s’efforçant de ne pas « trop » ypenser ! On considère même qu’il est de notre devoir de ne pas y penser.Mais au moment où l’on se rend compte qu’on est en course pour la MédailleFields, il devient très difficile d’en faire abstraction.
 

Cela a-t-il parasité votre concentration ?

Sur la fin, un peu, oui ! Maisc’est la même chose dans toute compétition, comme au tennis de table parexemple. Quand tu sens que tu es sur le point de gagner, c’est grisant et perturbant à la fois.


Quelles sont les parts respectives derigueur démonstrative et de créativité dans le théorème qui vous a valu la« Médaille Fields » ?

Ce n’est pas avec le formalisme ouseulement avec la technique qu’on gagne la « Médaille Fields ». C’estavec l’inventivité. Mais, si on n’a pas la technique nécessaire pour attaquerle problème et pour le résoudre, il ne se passe rien ! Il s’agit detrouver le bon dosage. L’imagination et la rigueur sont deux des troisqualités essentielles d’un mathématicien. La troisième est la ténacité.

Poincaré disait que c’est l’imagination qui permet de faire lesdémonstrations. Sans elle, un « géomètre » (au sens de mathématicien)serait comme un écrivain qui connaîtrait parfaitement la grammaire et toutesles nuances de la langue mais qui serait incapable d’imaginer une intrigue, uneaction. Toutefois, la technique est nécessaire : avant de pouvoir écrireune histoire, il faut savoir écrire !


Pouvez-vous maintenant nous décrirevotre métier de chercheur, car cela reste un peu abstrait pour nous ?

CédricVillani : C’est un métier très varié, polymorphe, où l’onrencontre toutes sortes de situations. On ne sépare pas l’activité de rechercheet l’activité d’enseignement. La recherche se fait parfois de façonindépendante, solitaire, parfois dans le cadre d’un contrat, en collaborationavec d’autres chercheurs. Puis on est amené à partager ses recherches, avec sescollègues, à voyager pour présenter ses résultats, à enseigner à des étudiants,en France ou à l’étranger, en tant que professeur invité. On n’a pas le tempsde s’ennuyer !

Comment un chercheur peut-ilconcilier ses tâches de recherche et d’enseignement ?

D’abord, on apprend en enseignant. Lameilleure méthode pour apprendre un sujet, c’est de l’enseigner. C’estma stratégie systématique. J’enseigne les choses que je ne connais pas trèsbien et sur lesquelles je veux approfondir mes connaissances. Cela supposebeaucoup de discipline, de travail, de préparation. Mais on ne maîtrisebien que ce qu’on est capable d’expliquer clairement. Et puis on faitd’autant mieux passer un sujet qu’on comprend où sont les difficultés. Si vousavez sué sang et eau il y a une semaine pour comprendre un problème, vous allezl’expliquer à vos élèves en attirant leur attention sur la difficulté. Si vousl’enseignez depuis 20 ans, vous aurez tendance à ne plus voir la difficulté, àne pas comprendre que vos élèves ne comprennent pas. Le fait d’avoir eu àsurmonter la difficulté soi-même rend la transmission plus simple. 

« J’ai appris beaucoup de choses surmon propre métier en les expliquant à ceux qui ne le pratiquaient pas »


Cela signifie-t-il qu’un professeur apprend de ses élèves ?

Mais bien sûr ! Le fait dedevoir organiser ses pensées, de les synthétiser pour préparer un cours vousaide à mieux comprendre ce dont vous allez parler. Expliquer un problème faitprogresser dans sa compréhension et vers sa résolution. C’est pourquoi il estsi important dans la recherche d’avoir un « sparring partner », commedans le monde de la compétition sportive. Il m’a, par exemple, été très utilede devoir expliquer mon métier à des gens qui n’y connaissaient rien.J’ai appris beaucoup de choses sur mon propre métier en les expliquant à ceuxqui ne le pratiquaient pas.

C’est, je crois, le premier mode parlequel le maître apprend de l’élève. Dans le processus de transmission, ilremet ses pensées en ordre, il apprend, il progresse lui-même dans lacompréhension. 

Et le deuxième mode ?

Le deuxième mode, c’est lorsque lesélèves posent des questions, s’étonnent, font remarquer quelque chose. C’estassez fréquent. A l’ENS Lyon quand j’enseignais, il ne se passait pas un courssans que je sois repris par un de mes étudiants : sur un bug, quelquechose qui avait été mal expliquée, ou sur une faute carrément, etc. Mes coursprogressaient ainsi au fur et à mesure, en tenant compte de façon importantedes remarques de mes élèves. Le chercheur sait très bien qu’il n’est pasinfaillible et que toujours des erreurs peuvent subsister dans un raisonnement.C’est pourquoi l’appel aux lecteurs ou aux auditeurs est si important. Les élèves sont souvent très forts pour mettre le doigt sur un problème que l’on n’avait pas vu soi-même.

Vous avez, grâce à votre métier,beaucoup  voyagé. Vous avez aussi enseigné dans des systèmes trèsdifférents. Pouvez-vous nous dire lequel vous semble le meilleur ?

CédricVillani : Difficile de les hiérarchiser. Il y a, en tous cas, unevraie différence de culture entre les approches anglo-saxonne et française.

Dans la première, par exemple,l’erreur est vue comme la marque d’un contact avec la réalité, et donc commeune expérience. C’est comme ça qu’on apprend. Cela peut même êtrevalorisant ! Dans le système américain, les gens vont même se targuer deleurs erreurs. Mais c’est pour mieux montrer la persévérance grâce à laquelleils les ont surmontées. Réussir après de nombreux échecs donne encore plus deprestige à la réussite !

Dans une vision plus française,disons cartésienne, on considère que les choses sont écrites depuis le départ.Soit la méthode est bonne et elle ne connaîtra que des réussites. Soit elle estmauvaise et n’aboutira qu’à des erreurs. L’erreur est même considérée comme unevraie faute (pensez à l’expression française « fauted’orthographe ») !

C’est le système français qui a unproblème avec l’erreur. Et il est difficile de faire admettre qu’elle est la base de toute démarche scientifique, de tout raisonnement.

“Réussir après de nombreuxéchecs donne encore plus de prestige à la réussite !”

Quelle est, justement, la place del’erreur dans le processus de recherche ? 

En tout cas, un chercheur passeson temps à se tromper ! Ses premiers raisonnements sont bourrésd’erreurs. Ce n’est pas grave : il faut se lancer, puis corriger. Avec letemps, on gagne en confiance et on se trompe moins. Dans mon livre, on peutvoir un bon nombre d’erreurs : soit des passages où je me planteroyalement, soit des passages où on a la bonne intuition pour de mauvaisesraisons. Il se trouve qu’on a juste, mais par hasard ! Ou bien encore,parfois un raisonnement faux permet de passer un obstacle, de ne pas resterbloqué et de trouver, mais bien plus tard, comment le court-circuiter. Onpasse son temps à se tromper dans le processus de recherche.

Comment alors sanctionner l’erreurd’un point de vue pédagogique ?

Question délicate. Je ne suis passpécialiste de pédagogie. Mais on voit bien là aussi la différence deculture entre les deux systèmes. Mes enfants, par exemple, ont été scolarisésdans les deux. Aux Etats-Unis, on les encourageait toujours lorsqu’ils setrompaient. On leur montrait comment se relever en leur expliquant la raison deleur erreur.

En France, on leur dit :« Ce n’est pas parfait. Il y a ça qui ne va pas, ça non plus. » Jecaricature à peine. Les systèmes entiers d’évaluation sont différents.

Mais en même temps, on ne peut pasimporter tel quel le modèle américain. On y perdrait tous nos repères ! Ona tendance à trouver les étudiants américains arrogants. A 20 ans, ilsdiscutent d’égal à égal avec le professeur ou le conférencier, parlant avec laplus grande assurance de choses qu’ils ne maîtrisent pas du tout. La frontièreentre la confiance en soi et l’arrogance est ténue. Quant à la France, elle aun problème particulier  avec le redoublement : on y redouble plusqu’ailleurs, mais ça ne marche pas. Le redoublement n’est pas une mesureefficace. Mais en France, l’idée qu’il faut sanctionner les gens pour leur bienest très implantée !


Pouvez-vous nous dire quels sont les avantages et les défauts des différents systèmes éducatifs que vous avez fréquentés, notamment français et américains.

La force du système américain est des’intéresser aussi à la personnalité, d’agir sur les questions de confiance etde voir les choses de manière globale. Pour caricaturer, une universitéfrançaise est un endroit où l’on va recevoir un enseignement, l’universitéaméricaine est un lieu où l’on va vivre : faire du sport, sortir entrecopains, faire la fête, participer à des clubs, organiser des événements. Lecampus, c’est un mode de vie. L’éducation est intégrée à l’ensemble de la vie.On insiste moins sur les contenus – et parfois c’est même choquant – et plussur l’aspect social, communautaire. Les installations sportives des grandesuniversités américaines feraient pâlir d’envie n’importe quelle municipalitéfrançaise. Il faut dire que le financement est en grande partie assuré par ceuxqui y sont déjà passés. C’est comme un écosystème.

Maintenant, il faut reconnaître qu’enmathématiques, par exemple, un étudiant américain qui commence sa thèse n’a pasle même niveau qu’un étudiant français, sur la base des compétences techniques.Il aura peut-être plus de compétences relationnelles, sera peut-être plus àl’aise pour voyager ici ou là, mais du point de vue du savoir, à strictementparler, il est en dessous. Et pourtant, à la fin, il atteint le mêmeniveau ! Mais je crois qu’il s’est davantage épanoui durant sa formationque son camarade français.

Beaucoup de stéréotypes sur lesmathématiciens circulent chez les gens, notamment parmi les élèves de notre lycée. Nous allons vous les soumettre pour voir ce que vous en pensez …

Cédric Villani : Aaah, des poncifs, j’adore ! Je vous écoute.

« Un mathématicien voit desmaths dans tout ce qui l’entoure et dans tout ce qu’il fait »

Ce n’est pas faux, mais c’est enoption. On peut mettre le switch « on » ou « off ».

Par exemple, quand vous prenez votredouche, vous pensez aux mathématiques ?

Non, mais si on veut, on peuts’amuser à penser aux gouttes d’eau. Pourquoi une goutte d’eau est-elleronde ? C’est un problème mathématique qui s’appellel’isopérimétrie : on minimise la surface, le volume étant fixé. Ou bien onpeut s’intéresser aux équations de la mécanique des fluides, à des questions depression, de changement d’états … Mais personnellement, ça ne m’arrivejamais ! Ou alors c’est que je n’arrive pas à me sortir un problème de latête, mais ça n’a rien à voir avec la douche …

« Un mathématicien portetoujours des lunettes »

Je n’en ai personnellement jamaisporté.

« Un mathématicien, comme toutscientifique, est vieux »

C’est un peu bizarre … Un vieuxscientifique a d’abord été un jeune scientifique, non ?

« Un mathématicien est ungénie »

Ah, évidemment, bien sûr ! Alorsça, ça me paraît clair …

« Si  tu étais une fonction, jeserais ta dérivée. Ainsi, je serais toujours tangent à tes courbes. »

« Un mathématicien est unhandicapé social »

Vraiment ? (Cédric Villanisort alors un énorme tas de cartes de visite et les dispose sur la table.)

D’accord. Vous avez une vie socialetrès épanouie. Mais n’est-ce pas la conséquence de votre récentenotoriété ?

Vous avez en partie raison. Mais jevous ai déjà dit qu’un chercheur ne cherchait pas tout seul, qu’il avait besoindes autres (ses élèves, ses collègues, ses proches, etc.). Il est vrai aussique la recherche impose des moments de solitude, de concentration extrême, loindu tumulte ou des occupations de la vie sociale ordinaire.

Aujourd’hui, vous êtes sollicité detoute part, vous êtes invité partout. Vous êtes devenu très médiatique !

Oui, c’est exact. Je considère qu’ilest aujourd’hui de mon devoir de médiatiser les mathématiques, et pluslargement, les sciences. C’est pourquoi je réponds souvent favorablement auxsollicitations dont je fais l’objet. Ma parole est devenue publique. Cela medonne de nouvelles responsabilités. J’aimerais, modestement, contribuer àdonner des sciences une image plus attractive, plus accessible.

Mais cette médiatisation et toutesces nouvelles occupations ne sont-elles pas incompatibles avec votre travail dechercheur ?

Ce n’est pas faux. Mais il y a untemps pour tout !

Revenons à nos idées reçues. Vous aurez beau faire des efforts, « l’humourd’un mathématicien n’est compris que par lui-même » !

Il y a effectivement des blagues demathématiciens qui sont faites pour les mathématiciens.

Par exemple, une collègue américainem’a un jour parlé de la « pick-up line » du mathématicien, de safaçon à lui d’attirer l’attention et la sympathie de la jeune femme aveclaquelle il cherche à entrer en contact : « Si  tu étais unefonction, je serais ta dérivée. Ainsi, je serais toujours tangent à tes courbes. »

 

Voilà, c’est fini. Nous vous remercions pour votre disponibilité …

Mais non ! Vous avez oublié« le » stéréotype systématiquement attaché aumathématicien !

Ah bon, lequel ?

Il est mal habillé, voyons !

C’est vrai, pardon ! Justement,vous êtes très élégant. Vous avez un look particulier, un style à la fois dandyet un peu mystérieux. Et puis il y a cette broche étrange en forme d’araignéeque vous arborez en permanence …

Je sens que vous allez me cuisinersur le sujet. Mais je vous avertis, je ne vous dirai pas ce que cette araignéesignifie !

Pouvons-nous alors vous soumettre unehypothèse ?

Allez-y …

Le monde est sous-tendu par lesmathématiques, comme vous nous l’avez dit plus haut. Les mathématiciens tissentdonc une toile pour capturer les phénomènes. S’ils mettent le réel enéquations, c’est pour mieux le ficeler, se l’approprier, et enfin l’ingérer.

Aaah ! Mais c’est intéressant,ça ! Davantage que si je vous avais révélé la signification de mabroche ! Vous voyez, le mystère a du bon : il stimule l’imagination.

Depuis votre Médaille, nous sommestrès fiers de vous : vous êtes un peu notre super-héros. Vous permettezqu’on vous surnomme « Spidermath » ?

Quand j’étais plus jeune, onm’appelait « Marsu ». C’était à cause de mon nom : j’étais le sautillant « Marsu-Villani » ! Je l’ai d’ailleurscomplètement assumé et le dessine systématiquement lorsqu’on me demande une dédicace.Mais alors « Spidermath », c’est carrément ingénieux et encore plusvalorisant … J’adore ce nouveau surnom !